El teorema de Pitágoras dice que, en um triángulo rectángulo, la medida de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
Aprovecha estos ejercicios resueltos y comentados para aclarar todas tus dudas sobre este tema.
Ejercicio 1
Carla buscaba a su gatito y lo vio en lo alto de un árbol. Pidió ayuda a su madre, que colocó una escalera junto al árbol para ayudar al gato a bajar.
Teniendo en cuenta que el gato estaba a 8 metros del suelo y que la base de la escalera estaba situada a 6 metros del árbol, ¿cuánto mide la escalera utilizada para salvar al gatito?
a) 8 metros.
b) 10 metros.
c) 12 metros.
d) 14 metros.
Respuesta correcta: b) 10 metros.
Observa que la altura a la que se encuentra el gato y la distancia a la que está situada la base de la escalera forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Como la escalera está situada frente al ángulo recto, su longitud corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Aplicando los valores dados en el teorema de Pitágoras, podemos hallar el valor de la hipotenusa.
Por tanto, la escalera tiene una medida de 10 metros.
Ejercicio 2
Carlos y Ana salieron de casa hacia el trabajo desde el mismo punto, el garaje del edificio donde viven. Al cabo de 1 minuto, viajando perpendicularmente, se encontraban a 13 metros el uno del otro.
Si el coche de Carlos recorrió 7 metros más que el de Ana durante ese tiempo, ¿a qué distancia se encontraban del garaje?
a) Carlos estaba a 10 m del garaje y Ana a 5 m.
b) Carlos estaba a 14 m del garaje y Ana a 7 m.
c) Carlos estaba a 12 m del garaje y Ana a 5 m.
d) Carlos estaba a 13 m del garaje y Ana a 6 m.
Respuesta correcta: c) Carlos estaba a 12 metros del garaje y Ana a 5 metros.
Los lados del triángulo rectángulo formado en esta pregunta son:
hipotenusa: 13 m
lado mayor: 7 + x
lado menor: x
Aplicando los valores al teorema de Pitágoras, tenemos:
Ahora, aplicamos la fórmula de Bhaskara para encontrar el valor de x.
Como se trata de una medida de longitud, debemos utilizar el valor positivo, 5. Por lo tanto, los lados del triángulo rectángulo formado en esta pregunta son:
hipotenusa: 13 m
lado mayor: 7 + 5 = 12 m
lado menor: x = 5 m
Concluimos que Ana estaba a 5 m del garaje y Carlos a 12 m.
Ejercicio 3
De acuerdo con las medidas presentadas en las siguientes alternativas, ¿cuál de ellas presenta los valores de un triángulo rectángulo?
a) 14 cm, 18 cm y 24 cm.
b) 21 cm, 28 cm y 32 cm.
c) 13 cm, 14 cm y 17 cm.
d) 12 cm, 16 cm y 20 cm.
Respuesta correcta: d) 12 cm, 16 cm y 20 cm.
Para saber si las medidas indicadas forman un triángulo rectángulo, debemos aplicar el teorema de Pitágoras a cada alternativa. Para identificar la hipotenusa, recuerda que siempre corresponde al lado de mayor longitud.
a) 14 cm, 18 cm y 24 cm
b) 21 cm, 28 cm y 32 cm
c) 13 cm, 14 cm y 17 cm
d) 12 cm, 16 cm y 20 cm
Por tanto, las medidas 12 cm, 16 cm y 20 cm corresponden a los lados de un triángulo rectángulo, porque el cuadrado de la hipotenusa, el lado mayor, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejercicio 4
Observa las siguientes figuras geométricas, las cuales se unen a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyas medidas son 3, 4 y 5 metros.
Determina la altura (h) del triángulo equilátero BCD y el valor de la diagonal (d) del cuadrado BCFG.
a) h = 4,33 m y d = 7,07 m.
b) h = 4,72 m y d = 8,20 m.
c) h = 4,45 m y d = 7,61 m.
d) h = 4,99 m y d = 8,53 m.
Respuesta correcta: a) h = 4,33 metros y d = 7,07 metros.
Para la primera figura, como el triángulo es equilátero, esto significa que sus tres lados tienen la misma longitud. Al trazar una línea que corresponda a la altura del triángulo equilátero, lo dividimos en dos triángulos rectángulos.
Lo mismo ocurre con un cuadrado, la segunda figura. Al trazar la línea de su diagonal, podemos visualizar dos triángulos rectángulos.
Aplicando los datos del enunciado al teorema de Pitágoras, encontramos los valores siguientes:
1. Cálculo de la altura (h) del triángulo (cateto del triángulo rectángulo):
Esto nos lleva a la fórmula para calcular la altura. Ahora basta con sustituir el valor de L y calcularla.
2. Cálculo de la diagonal del cuadrado (hipotenusa del triángulo rectángulo):
Por tanto, la altura del triángulo equilátero BCD es 4,33 metros y el valor de la diagonal del cuadrado BCFG es 7,07 metros.
Ejercicio 5
Una cometa, cuya figura es mostrada a continuación, fue construida con la forma del cuadrilátero ABCD, siendo AB=BC y AD=CD. El segmento BD de la cometa corta el segmento AC en su punto medio E, formando un ángulo recto.
En la construcción de la cometa, las medidas de BC y BE usadas son, respectivamente, 25 y 20 centímetros, y la medida de AC equivale a 2/5 de la medida de BD.
Teniendo en cuenta estas condiciones, la medida de DE, en cm, es igual a
a) 25 cm.
b) 40 cm.
c) 55 cm.
d) 70 cm.
Respuesta correcta: c) 55 cm.
Observando el dibujo de la pregunta, nos damos cuenta de que el segmento DE, el que queremos hallar, es igual al segmento BD restando el segmento BE.
Entonces, como sabemos que el segmento BE es igual a 20 cm, tenemos que encontrar el valor del segmento BD.
Observa que el problema nos da la siguiente información:
Por tanto, para hallar la medida de BD, necesitamos conocer el valor del segmento AC.
Como el punto E divide el segmento en dos partes iguales (punto medio), entonces el primer paso es hallar la medida del segmento CE.
Para hallar la medida de CE, identificamos que el triángulo BCE es rectángulo, que BC es la hipotenusa y BE y CE son los catetos, como se muestra en la siguiente imagen:
A continuación, aplicaremos el teorema de Pitágoras para hallar la medida del cateto.
252 = 202+x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 - 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Para hallar el cateto, también podríamos haber observado que el triángulo es pitagórico, es decir, que las medidas de sus lados son múltiplos de las medidas 3, 4 y 5 del triángulo.
Así, si multiplicamos 4 por 5 obtenemos el valor del lado derecho (20) y si multiplicamos 5 por 5 obtenemos la hipotenusa (25). Por lo tanto, el otro lado solo puede ser 15 (5 . 3).
Ahora que hemos encontrado el valor de CE, podemos encontrar las otras medidas:
AC = 2 · CE ⇒ AC = 2·15 = 30 cm
Por tanto, la medida de DE es igual a 55 cm.
Ejercicio 6
Se está construyendo una casa de dos plantas y se necesita una escalera para conectar los dos pisos. Para diseñar la escalera correctamente, es necesario conocer su longitud.
Los únicos datos disponibles son la altura, que es de 3 metros, y la longitud horizontal, de 5 metros desde el primer escalón hasta el último. Determina la longitud de la escalera.
Respuesta: 5,83 metros
La altura y la longitud horizontal forman con la escalera un triángulo rectángulo. La longitud de la escalera se obtiene mediante el Teorema de Pitágoras.
Los catetos miden 3 y 5 metros.
La raíz cuadrada aproximada de 34 es 5,83 metros.
Ejercicio 7
Considerando un triángulo equilátero de lado 5√3 ܿ, ¿cuál es la altura y el área de este triángulo, respectivamente?
Alternativa correcta: e) 7,5 cm y (75√3)/4 cm2
En primer lugar, vamos a dibujar el triángulo equilátero y a trazar la altura, como se muestra en la siguiente imagen:
Observa que la altura divide la base en dos segmentos de igual longitud, ya que el triángulo es equilátero. Observa también que el triángulo ACD de la imagen es un triángulo rectángulo.
Por lo tanto, para hallar la altura, utilizaremos el teorema de Pitágoras:
Conociendo la medida de la altura, podemos encontrar el área a través de la fórmula:
Ejercicio 8
En la siguiente figura, el valor de x e y, respectivamente, es:
Alternativa correcta: a) 4√2 y √97.
Para encontrar el valor de x, vamos a aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que tiene catetos iguales a 4 cm.
x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Para encontrar el valor de y, también usaremos el teorema de Pitágoras, ahora considerando que un cateto mide 4 cm y el otro 9 cm (4 + 5 = 9).
y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm
Por tanto, el valor de x e y, respectivamente, es 4√2 y √97.
Ejercicio 9
Observa la siguiente figura:
La imagen anterior muestra un triángulo isósceles ACD, en el que el segmento AB mide 3 cm, el lado desigual AD mide 10√2 cm y los segmentos AC y CD son perpendiculares.
Por tanto, es correcto decir que el segmento BD mide:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Respuesta correcta: d) √149 cm
Considerando la información ofrecida en el problema, construimos la siguiente figura:
Según la figura, podemos ver que para hallar el valor de x, necesitamos hallar la medida del lado que llamamos a.
Como el triángulo ACD es un triángulo rectángulo, aplicaremos el teorema de Pitágoras para hallar el valor del lado a.
Ahora que conocemos el valor de a, podemos hallar el valor de x considerando el triángulo rectángulo BCD.
Observe que el cateto BC es igual a la medida del cateto menos 3 cm, es decir, 10 - 3 = 7 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo, tenemos:
Por tanto, es correcto afirmar que el segmento BD mide √149 cm.
Ejercicio 10
La pista polideportiva de un instituto es rectangular, de 100 metros de largo y 50 metros de ancho, representada por el rectángulo ABCD de esta figura.
Alberto y Bruno son dos estudiantes que practican deporte en el patio. Alberto camina del punto A al punto C por la diagonal del rectángulo y vuelve al punto de partida por el mismo camino. Bruno parte del punto B, recorre todo el patio por las líneas laterales y vuelve al punto de partida.
Por lo tanto, considerando √5 = 2,24 , ¿cuánto más ha recorrido Bruno comparado con Alberto?
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Respuesta correcta: c) 76 m.
La diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos, con la hipotenusa igual a la diagonal y los lados iguales a los lados del rectángulo.
Así que, para calcular la diagonal, aplicaremos el teorema de Pitágoras:
Teniendo en cuenta que Alberto fue y volvió, recorrió 224 m.
Bruno, en cambio, recorrió una distancia igual al perímetro del rectángulo, es decir
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Por tanto, Bruno caminó 76 m más que Alberto (300 - 112 = 76 m).
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