El mcm y el MCD representan, respectivamente, el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o más números.
No pierdas la oportunidad para aclarar todas tus dudas con estos ejercicios comentados y resueltos que te entregamos a continuación.
Ejercicio 1
Para los números 12 y 18, determinar, sin tener en cuenta el 1:
a) Los divisores de 12.
b) Los divisores de 18.
c) Los divisores comunes de 12 y 18.
d) El máximo común divisor de 12 y 18.
a) 2, 3, 4, 6 y 12
b) 2, 3, 6, 9 y 18
c) 2, 3 y 6
d) 6
Ejercicio 2
Calcula el mcm y el MCD entre 36 y 44.
Ejercicio 3
Considera un número natural x. Clasifica las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas y razona.
a) El máximo común divisor de 24 y x puede ser 7.
b) El máximo común divisor de 55 y 15 puede ser 5.
a) No, porque 7 no es divisor de 24.
b) Sí, porque 5 es el divisor común de 55 y 15.
Ejercicio 4
Con motivo de la presentación del nuevo coche de carreras del equipo Significados, se celebró una carrera atípica. Participaron tres vehículos: el coche de lanzamiento, el de la temporada pasada y un turismo normal.
El circuito es un óvalo, los tres coches salieron juntos y mantuvieron velocidades constantes. El coche de lanzamiento tarda 6 minutos en completar una vuelta. El coche de la temporada pasada tarda 9 minutos en completar una vuelta y el turismo tarda 18 minutos en completar una vuelta.
Después de que empiece la carrera, ¿cuánto tardarán en volver a pasar juntos por el mismo punto de salida?
Para determinarlo, tienes que calcular mcm (6, 9, 18).
Así que volvieron a pasar por el mismo punto de partida, 18 minutos más tarde.
Ejercicio 5
En una fábrica de ropa hay rollos de tela de 120, 180 y 240 centímetros. Hay que cortar la tela en tantas piezas iguales como sea posible y no debe sobrar nada. ¿Cuál es la longitud máxima de cada tira de tejido?
Para determinarlo, debemos calcular el MCD (120, 180, 240).
La mayor longitud posible, sin extremos, será de 60 cm.
Ejercicio 6
Determina el mcm y el MCD de los siguientes números:
a) 40 y 64
Respuesta correcta: mcm= 320 y MCD = 8.
Para hallar el mcm y el MCD, el método más rápido es dividir los números simultáneamente por los números primos más pequeños posibles. Véase más abajo.
Observa que el mcm se calcula multiplicando los números utilizados en la factorización y el MCD se calcula multiplicando los números que dividen simultáneamente los dos números.
b) 80, 100 y 120
Respuesta correcta: mcm = 1200 y MCD = 20.
La descomposición simultánea de los tres números nos dará el mcm y el MCD de los valores indicados. Véase a continuación.
La división por números primos nos da el resultado de la mcm multiplicando los factores y la MCD multiplicando los factores que dividen a los tres números simultáneamente.
Ejercicio 7
Utilizando la factorización en primos, determina cuáles son los dos números consecutivos cuyo mcm es 1260:
a) 32 y 33
b) 33 y 34
c) 35 y 36
d) 37 y 38
Respuesta correcta: c) 35 y 36.
En primer lugar, debemos factorizar el número 1260 y determinar los factores primos.
Al multiplicar los factores, descubrimos que los números consecutivos son 35 y 36.
Para demostrarlo, calculemos el mcm de los dos números.
Ejercicio 8
Para celebrar el Día del Estudiante se celebrará una yincana con alumnos de tres clases de 6º, 7º y 8º curso. A continuación el número de alumnos de cada clase.
Clase
6º
7º
8º
Número de alumnos
18
24
36
Utilizando el MCD, determina el número máximo de alumnos de cada clase que pueden participar en la yincana como equipo.
A continuación, responde: ¿cuántos equipos pueden formar las clases 6ª, 7ª y 8ª, respectivamente, con el número máximo de participantes por equipo?
a) 3, 4 y 5
b) 4, 5 y 6
c) 2, 3 y 4
d) 3, 4 y 6
Respuesta correcta: d) 3, 4 y 6.
Para responder a esta pregunta, debemos empezar por factorizar los valores dados en números primos.
Por lo tanto, hemos hallado el número máximo de alumnos por equipo, por lo que cada clase tendrá:
Si A = 120; B = 160; x = mcm (A,B); e y = MCD (A,B); entonces el valor de x + y es igual a:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Respuesta correcta: d) 520.
Para hallar el valor de la suma de x e y, primero tenemos que hallar estos valores.
Así que vamos a factorizar los números en factores primos y luego calcular el mcm y MCD entre los números dados.
Ahora que conocemos el valor de x (mcm) y de y (MCD), podemos hallar la suma:
x + y = 480 + 40 = 520
Respuesta: d) 520
Ejercicio 10
En la tabla siguiente se indican algunos valores nutricionales para la misma cantidad de dos alimentos, A y B.
Consideremos dos porciones isocalóricas (del mismo valor energético) de los alimentos A y B. La relación entre la cantidad de proteínas de A y la cantidad de proteínas de B es igual a:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Respuesta correcta: c) 8.
Para hallar las porciones isocalóricas de los alimentos A y B, calcularemos el mcm entre sus respectivos valores energéticos.
A continuación, hay que considerar la cantidad de cada alimento necesaria para obtener el valor calórico.
Considerando el alimento A, para obtener un valor calorífico de 240 Kcal hay que multiplicar las calorías iniciales por 4 (60 · 4 = 240). Para el alimento B, hay que multiplicar por 3 (80 · 3 = 240).
Así pues, la cantidad de proteínas del alimento A se multiplicará por 4 y la del alimento B por 3:
Alimento A : 6 · 4 = 24 g
Alimento B : 1 · 3 = 3 g
Así, la relación entre estas cantidades vendrá dada por:
Alternativa: c) 8
Ejercicio 11
La tabla siguiente muestra tres formas de organizar los cuadernos en paquetes:
Si n es menor que 1200, la suma de los dígitos del mayor valor de n es:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Alternativa correcta: b) 17.
Considerando los valores de la tabla, tenemos las siguientes relaciones:
n = 12 · x + 11
n = 20 · y + 19
n = 18 · z + 17
Observa que si añadiéramos 1 libro al valor de n, ya no tendríamos resto en las tres situaciones, pues formaríamos otro paquete:
n+ 1 = 12 · x + 12
n+ 1 = 20 · x + 20
n+ 1 = 18 · x + 18
Por tanto, n + 1 es un múltiplo común de 12, 18 y 20, por lo que si hallamos el mcm (que es el mínimo común múltiplo), podremos hallar el valor de n+1.
Cálculo del mcm:
Por tanto, el menor valor de n + 1 será 180. Sin embargo, queremos encontrar el mayor valor de n menor que 1200. Así que vamos a buscar un múltiplo que cumpla estas condiciones.
Para ello, multiplicaremos 180 hasta encontrar el valor deseado:
180 . 2 = 360
180 . 3 = 540
180 . 4 = 720
180 . 5 = 900
180 . 6 = 1 080
180 . 7 = 1 260 (este valor es mayor que 1 200)
Por lo tanto, podemos calcular el valor de n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
La suma de sus dígitos vendrá dada por:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativa: b) 17
Ejercicio 12
Un arquitecto está remodelando una casa. Para contribuir al medio ambiente, decide reutilizar tablones de madera extraídos de la casa. Tiene 40 tablas de 540 cm, 30 de 810 cm y 10 de 1080 cm, todas de la misma anchura y grosor. Pide a un carpintero que corte las tablas en trozos de la misma longitud, sin dejar sobrantes, para que las nuevas piezas sean lo más grandes posible pero de menos de 2 metros.
En respuesta a la petición del arquitecto, el carpintero debe producir
a) 105 piezas.
b) 120 piezas.
c) 210 piezas.
d) 243 piezas.
e) 420 piezas.
Respuesta correcta: e) 420 piezas.
Como se exige que las piezas tengan la misma longitud y el mayor tamaño posible, calculemos el MCD (máximo común divisor).
Calculemos el MCD entre 540, 810 y 1080:
Sin embargo, no podemos utilizar el valor hallado, ya que la longitud está restringida a menos de 2 metros.
Así que dividamos 2,7 entre 2, porque el valor que encontremos también será un divisor común de 540, 810 y 1080, ya que 2 es el factor primo común más pequeño de estos números.
Así pues, la longitud de cada pieza será igual a 1,35 metros (2,7 : 2). Ahora tenemos que calcular cuántas piezas tendremos de cada tablero. Para ello, haremos:
5,40 : 1,35 = 4 piezas
8,10 : 1,35 = 6 piezas
10,80 : 1,35 = 8 piezas
Teniendo en cuenta la cantidad de cada tabla y sumándolas, tenemos:
El director de un cine reparte entradas gratuitas a los colegios todos los años. Este año se distribuirán 400 entradas para una proyección vespertina y 320 entradas para una proyección nocturna de la misma película. Se pueden elegir varios colegios para recibir entradas. Hay ciertos criterios para la distribución de entradas:
cada colegio debe recibir entradas para una única proyección;
todas las escuelas deben recibir el mismo número de entradas;
no habrá excedente de entradas (es decir, se distribuirán todas las entradas).
El número mínimo de colegios que pueden ser elegidos para recibir entradas, según los criterios establecidos, es de
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Respuesta correcta: c) 9.
Para averiguar el número mínimo de colegios, necesitamos saber el número máximo de entradas que puede recibir cada colegio, teniendo en cuenta que este número debe ser el mismo para las dos sesiones.
Así que calcularemos el MCD entre 400 y 320:
El valor del MCD hallado representa el mayor número de entradas que recibirá cada colegio, para que no sobren.
Para calcular el número mínimo de colegios que se pueden elegir, debemos dividir también el número de entradas de cada sesión entre el número de entradas que recibirá cada colegio:
400 : 80 = 5
320 : 80 = 4
Por lo tanto, el número mínimo de colegios será 9 (5 + 4).
Respuesta: c) 9.
Ejercicio 14
Determina el valor de la siguiente expresión numérica:
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Respuesta correcta: a) 0,2222
Para hallar el valor de la expresión numérica, el primer paso es calcular la mcm entre los denominadores. Así:
El mcm hallado será el nuevo denominador de las fracciones.
Sin embargo, para no cambiar el valor de la fracción, debemos multiplicar el valor de cada numerador por el resultado de dividir el mcm entre cada denominador:
Resolviendo la suma y la división, tenemos:
Respuesta: a) 0,2222
Ejercicio 15
Un agricultor va a plantar judías en un lecho recto. Para ello, ha empezado a marcar los lugares donde plantará las semillas. La figura siguiente muestra los puntos que ya ha marcado y las distancias, en cm, entre ellos.
A continuación, este agricultor marcó otros puntos entre los existentes, de forma que la distancia d entre ellos fuera la misma y lo mayor posible. Si x representa el número de veces que la distancia d fue obtenida por el agricultor, entonces x es un número divisible por:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Respuesta correcta: d) 7.
Para resolver la pregunta, necesitamos encontrar un número que divida a la vez los números dados. Como nos piden que la distancia sea la mayor posible, calcularemos el MCD entre ellos.
De este modo, la distancia entre cada punto será igual a 5 cm.
Para hallar el número de veces que se ha repetido esta distancia, dividamos cada segmento original por 5 y sumemos los valores hallados:
15 : 5 = 3
70 : 5 = 14
150 : 5 = 30
500 : 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
El número encontrado es divisible por 7, porque 21·7 = 147
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