El área de las figuras planas representa la medida de la extensión que la figura ocupa en el plano. Las figuras planas incluyen triángulos, rectángulos, rombos, trapecios, círculos y muchas otras.
Aprovecha los siguientes ejercicios para poner a prueba tus conocimientos sobre este importante tema de la geometría.
Ejercicio 1
El área cuadrada de una finca debe dividirse en cuatro partes iguales, también cuadradas, y en una de ellas debe mantenerse una reserva de bosque nativo (área sombreada), como se muestra en la siguiente figura.
Dado que B es el punto medio del segmento AE y C es el punto medio del segmento EF, el área sombreada, en m2, mide:
a) 625.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500.
Respuesta correcta: c) 1562,5.
Observando la figura, vemos que el área sombreada corresponde al área del cuadrado de lado 50 m menos el área de los triángulos BEC y CFD.
La medida del lado BE del triángulo BEC es igual a 25 m, porque el punto B divide el lado en dos segmentos congruentes (punto medio del segmento).
Lo mismo ocurre con los lados EC y CF, es decir, sus medidas también son iguales a 25 m, porque el punto C es el punto medio del segmento EF.
Por tanto, podemos calcular el área de los triángulos BEC y CFD. Considerando uno de los dos lados conocidos como base, el otro lado será igual a la altura, ya que los triángulos son rectángulos.
Calculando el área del cuadrado y de los triángulos BEC y CFD, tenemos:
Ahora que tenemos el área del cuadrado AEFD y de los triángulos BED y CFD, podemos calcular el área sombreada. Para ello, restamos el área de los triángulos al cuadrado:
Por lo tanto, el área sombreada, en m2, mide 1562,5.
Ejercicio 2
Un cuadrado de lado x y un triángulo equilátero de lado y tienen áreas del mismo tamaño. Por lo tanto, el cociente x/y es igual a:
Respuesta correcta:
La información dada en el problema es que las áreas son iguales, es decir:
El área del triángulo se halla multiplicando la medida de la base por la medida de la altura y dividiendo el resultado por 2. Como el triángulo es equilátero y el lado es igual a "y", el valor de su altura viene dado por:
Por tanto, se puede afirmar que el cociente x/y es igual a:
Ejercicio 3
Una plaza pública en forma de circunferencia tiene un radio de 18 metros. En vista de lo anterior, elige la respuesta que muestre su área.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2
Respuesta correcta: a) 1 017, 36 m2.
Para encontrar el área de la plaza, debemos utilizar la fórmula del área del círculo:
A = π·R2
Sustituyendo el valor del radio y considerando π = 3,14, encontramos:
A = 3,14 . 182 = 3,14 · 324 = 1 017, 36 m2
Por tanto, el área de la plaza es de 1 017, 36 m2.
Ejercicio 4
Un rectángulo tiene las dimensiones x e y, que se expresan mediante las ecuaciones x2 = 12, e (y - 1)2 = 3. El perímetro y el área de este rectángulo son, respectivamente:
a) 6√3 + 2 y 2 + 6√3
b) 6√3 y 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 y 12
d) 6 y 2√3
e) 6√3 + 2 y 2√3 + 6
Respuesta correcta: e) 6√3 + 2 y 2√3 + 6.
Primero vamos a resolver las ecuaciones para hallar los valores de x, y:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √(4 · 3) = 2√3
(y - 1)2= 3 ⇒ y = √3 + 1
El perímetro del rectángulo es igual a la suma de todos los lados:
Por tanto, el perímetro y el área del rectángulo son 6√3 + 2 y 2√3 + 6 respectivamente.
Ejercicio 5
Analiza la siguiente figura:
Sabiendo que EP es el radio de la semicircunferencia con centro E, como se muestra en la figura anterior, determina el valor de la zona más oscura y marca la casilla correcta. Dato: para este ejercicio, el número pi equivale a π=3.
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Respuesta correcta: b) 12 cm2.
El área más oscura se halla sumando el área de la semicircunferencia al área del triángulo ABD. Empecemos por calcular el área del triángulo. Para ello, observemos que el triángulo es rectángulo.
Llamemos al lado AD x y calculemos su medida utilizando el teorema de Pitágoras, como se muestra a continuación:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Conociendo la medida del lado AD, podemos calcular el área del triángulo:
También tenemos que calcular el área de la semicircunferencia. Observe que su radio será igual a la mitad de la longitud del lado AD, por lo que r = 2 cm. El área de la semicircunferencia será igual a:
El área más oscura se hallará haciendo AT = 6 + 6 = 12 cm2
Por lo tanto, el valor del área más oscura es 12 cm2.
Ejercicio 6
Un señor, padre de dos hijos, quiere comprar dos parcelas del mismo tamaño, una para cada hijo. Una de las parcelas visitadas ya está delimitada y, aunque no tiene una forma convencional (como puede verse en la figura B), le atrae al hijo mayor y por eso la compra. El hijo menor tiene un proyecto arquitectónico para una casa que quiere construir, pero para ello necesita una parcela rectangular (como se muestra en la figura A) que sea 7 metros más larga que ancha.
Para satisfacer a su hijo menor, este señor necesita encontrar un terreno rectangular cuya longitud y anchura, en metros, sean iguales respectivamente a:
a) 7,5 y 14,5
b) 9 y 16
c) 9,3 y 16,3
d) 10 y 17
e) 13,5 y 20,5
Respuesta correcta: b) 9 y 16.
Como el área de la figura A es igual al área de la figura B, calculemos primero esta área. Para ello, dividamos la figura B, como se muestra en la siguiente imagen:
Observa que al dividir la figura, tenemos dos triángulos rectángulos. Por tanto, el área de la figura B será igual a la suma de las áreas de estos triángulos. Calculando estas áreas, tenemos
Como la figura A es un rectángulo, su área se halla haciendo:
AA = x · (x + 7)= x2 + 7x
Igualando el área de la figura A con el valor hallado para el área de la figura B, encontramos:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
Resolvamos la ecuación de 2º grado utilizando la fórmula de Bhaskara o fórmula general:
Como una medida no puede ser negativa, sólo consideraremos el valor igual a 9. Por lo tanto, la anchura de la parcela de la figura A será igual a 9 metros y la longitud será igual a 16 metros (9+7).
Ejercicio 7
Una empresa de telefonía móvil dispone de dos antenas que van a ser sustituidas por una nueva más potente. Las zonas de cobertura de las antenas a sustituir son círculos de radio 2 kilómetros, cuyas circunferencias tocan tangencialmente en el punto O, como se muestra en la figura.
El punto O indica la posición de la nueva antena, y su región de cobertura será un círculo cuya circunferencia toca tangencialmente las circunferencias de las zonas de cobertura más pequeñas. Con la instalación de la nueva antena, la medición de la zona de cobertura, en kilómetros cuadrados, se ha incrementado en:
a) 8π
b) 12π
c) 16π
d) 32π
e) 64π
Respuesta correcta: a) 8π.
La extensión de la zona de cobertura se hallará restando las áreas de los círculos menores a partir del círculo mayor (referido a la nueva antena).
Como la circunferencia de la nueva región de cobertura es tangente externamente los círculos menores, su radio será igual a 4 kilómetros, como se muestra en la figura siguiente:
Calculemos las áreas A1 y A2 de las circunferencias menores y el área A3 de la circunferencia mayor:
A1 = A2 = 22 · π = 4π
A3 = 42 · π = 16π
La medida del área ampliada se hallará restando al área del círculo mayor las áreas de los círculos menores:
A = 16π - 4π - 4π = 8π
Por tanto, con la instalación de la nueva antena, la medida del área de cobertura, en kilómetros cuadrados, se ha incrementado en 8π.
Ejercicio 8
El esquema I muestra la configuración de una cancha de baloncesto. Los trapecios grises, llamados jarras, corresponden a zonas restrictivas.
Para cumplir con las directrices del Comité Central de la Federación Internacional de Baloncesto (FIBA) en 2010, que unificó las marcas de las diferentes ligas, se realizó un cambio en los bastidores de las canchas, que pasarían a ser rectángulos, como se muestra en el Esquema II.
Tras realizar las modificaciones previstas, se ha producido un cambio en la superficie ocupada por cada bastidor, que corresponde a un(a):
a) un aumento de 5 800 cm2.
b) un aumento de 75 400 cm2.
c) un aumento de 214 600 cm2.
d) una disminución de 63 800 cm2.
e) una disminución de 272 600 cm2.
Respuesta correcta: a) aumento de 5 800 cm².
Para saber cuánto ha cambiado el área ocupada, calculemos el área antes y después del cambio.
En el cálculo del esquema I, utilizaremos la fórmula del área de un trapecio. En el esquema II, utilizaremos la fórmula del área de un rectángulo.
El cambio en el área será entonces
A = AII- AI
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Por lo tanto, tras realizar las modificaciones previstas, se ha producido un cambio en la superficie ocupada por cada jarra, que corresponde a un aumento de 5 800 cm².
Ejercicio 9
Ana decidió construir en su casa una piscina rectangular de 8 metros de base y 5 metros de altura. La zona de alrededor, en forma de trapecio, se rellenó con césped.
Dado que la altura del trapecio es de 11 metros y sus bases miden 20 metros y 14 metros, ¿cuál es la superficie de la parte que se ha rellenado con hierba?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Respuesta correcta: c) 147 m2.
Como el rectángulo que representa la piscina está dentro de una figura mayor, el trapecio, empezaremos calculando el área de la figura exterior.
El área del trapecio se calcula mediante la fórmula:
Donde,
B es la medida de la base mayor;
b es la medida de la base menor;
h es la altura.
Sustituyendo los datos del enunciado en la fórmula, tenemos:
Ahora vamos a calcular el área del rectángulo. Para ello, basta con multiplicar la base por la altura.
Para hallar la superficie cubierta por césped, tenemos que restar el espacio ocupado por la piscina de la superficie del trapecio.
Por lo tanto, la superficie rellenada con hierba era de 147 m2.
Ejercicio 10
Para renovar el tejado de su almacén, Carlos decidió comprar tejas coloniales. Con este tipo de cubierta se necesitan 20 piezas por cada metro cuadrado de tejado.
Si el tejado de la obra está formado por dos rectángulos, como en la imagen de arriba, ¿cuántas tejas tiene que comprar Carlos?
a) 12000 tejas
b) 16000 tejas
c) 18000 tejas
d) 9600 tejas
Respuesta correcta: b) 16000 tejas.
El tejado del almacén está formado por dos losas rectangulares. Por lo tanto, debemos calcular el área de un rectángulo y multiplicar por 2.
Así pues, la superficie total del tejado es de 800 m2. Si cada metro cuadrado requiere 20 tejas, utilizando una simple regla de tres podemos calcular cuántas tejas llenan el tejado de todo el almacén.
Por tanto, será necesario comprar 16 mil tejas.
Ejercicio 11
Marcia quiere dos jarrones de madera iguales para decorar la entrada de su casa. Como solo puede comprar uno de los que más le gustaron, decide contratar a un carpintero para que construya otro jarrón con las mismas dimensiones. El jarrón debe tener los cuatro lados en forma de trapecio isósceles y la base es un cuadrado.
Sin tener en cuenta el grosor de la madera, ¿cuántos metros cuadrados de madera serán necesarios para reproducir la pieza?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Respuesta correcta: d) 0,3121 m2.
Un trapecio isósceles es un tipo de trapezoide que tiene lados iguales y bases con medidas diferentes. A partir de la imagen, tenemos las siguientes medidas del trapecio en cada lado del jarrón:
Base más pequeña (b): 19 cm;
Base mayor (B): 27 cm;
Altura (h): 30 cm.
Con estos valores, calculamos el área del trapecio:
Como el jarrón está formado por cuatro trapecios, tenemos que multiplicar por cuatro el área hallada.
Ahora tenemos que calcular la base del jarrón, que es un cuadrado de 19 cm de lado.
Sumando las superficies calculadas, llegamos a la superficie total de madera que se utilizará para la construcción.
No obstante, la superficie debe indicarse en metros cuadrados.
Por lo tanto, sin tener en cuenta el grosor de la madera, se necesitaron 0,3121 m2 de material para hacer el jarrón.
Significados.com está compuesto por un equipo de redactores especializados en diversos temas y materias para producir, revisar y editar todos los contenidos.
