Ecuaciones de segundo grado

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Las ecuaciones de segundo grado, también llamadas ecuaciones cuadráticas, son aquellas en el que el mayor grado es 2. Es decir, el mayor exponente de la ecuación es la variable x elevada al cuadrado.

Una ecuación de segundo grado posee la forma ax² + bx + c = 0, y se compone de tres términos:

• el término cuadrático, ax², que se compone de un coeficiente a y la variable x elevada al cuadrado;
• el término lineal, bx, que se compone del coeficiente b y la variable x;
• y el término independiente, c.

Para que esta ecuación se considere de segundo grado, el coeficiente a ha de ser diferente de cero, y tanto b como c han de ser números reales.

Los siguientes tres ejemplos son ecuaciones cuadráticas:

Siempre que los tres términos estén presente, la ecuación de segundo grado representa una parábola en el plano cartesiano. Si a es mayor de cero, la parábola se abre hacia arriba; si a es menor de cero, la parábola se abre hacia abajo.

Al ser una ecuación de segundo grado, puede tener dos soluciones o raíces reales, aunque en ocasiones puede haber solamente una solución real o ninguna. A continuación, explicamos cómo encontrar soluciones en ecuaciones de segundo grado.

Fórmula para resolver una ecuación de segundo grado

Resolver una ecuación de segundo grado es sencillo si nos servimos de la fórmula general o fórmula de Bhaskara, que simplifica el cálculo de la variable x.

La fórmula es la siguiente:

Recuerda que las letras hacen referencia a los coeficientes y la variable de la ecuación ax² + bx + c = 0. Mediante esta fórmula, solo necesitamos sustituir los valores de los coeficientes a, b y c para hallar los valores de x, y de esta forma, las soluciones o raíces de la ecuación.

Por ejemplo, si tenemos la ecuación x² + 3x - 4 = 0 y aplicamos la fórmula general:

Las dos soluciones para esta ecuación son x₁ = 1 y x₂ = -4. Aplicar la fórmula es un método bastante rápido que, de otro modo, el cálculo podría resultar laborioso.

Para tener una pista de qué tipo de soluciones podemos hallar en la ecuación de segundo grado, nos podemos fijar en el discriminante Δ, que es la operación ubicada dentro de la raíz cuadrada:

Dependiendo del valor de Δ, la ecuación cuadrática tendrá diferentes tipos de soluciones o raíces:

• Si Δ > 0, la ecuación contiene dos soluciones reales distintas.
• Si Δ = 0, la ecuación contiene dos soluciones reales iguales.
• Si Δ < 0, la ecuación no contiene soluciones reales, pero sí dos soluciones complejas conjugadas.

Para comprobar qué raíces presenta una ecuación de segundo grado, solo hemos de sustituir los coeficientes. Retomemos el ejemplo anterior:

Como el discriminante, 25, es mayor que cero, sabemos que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Tipos de ecuaciones de segundo grado

Según la presencia o ausencia de términos independientes y lineales, podemos hablar de los siguientes tipos de ecuaciones cuadráticas:

1. Ecuación de segundo grado completa
2. Ecuación de segundo grado sin término independiente
3. Ecuación de segundo grado sin término lineal

Los tres tipos de ecuaciones se pueden resolver utilizando la fórmula general, pero no es necesario para el segundo y tercer caso.

1. Ecuación de segundo grado completa

Es aquella ecuación cuadrática en el que b y c son diferente de cero, por lo que los tres términos (cuadrático, lineal e independiente) están presentes: ax² + bx + c = 0.

Para resolver este tipo de ecuación, se emplea la fórmula general que hemos presentado anteriormente. En algunos casos, es posible resolver la ecuación cuadrática mediante factorización o por el proceso de completar el cuadrado.

2. Ecuación de segundo grado sin término independiente

Es un tipo de ecuación cuadrática incompleta en el que no hay término independiente, es decir, c es igual a cero. Por lo tanto, la ecuación de segundo grado es: ax² + bx = 0.

Para resolver este tipo de ecuación, no es necesario utilizar la fórmula general. En su lugar, podemos sacar el factor común de la ecuación:

Con esta nueva expresión de la misma ecuación, podemos hallar fácilmente las dos raíces, las cuales son:

Es decir, en una ecuación de segundo grado sin término independiente, el valor 0 es siempre una de las raíces, mientras que la otra solución se obtiene dividiendo el valor negativo del coeficiente b entre a.

Por ejemplo, si tenemos la ecuación 3x² + 6x = 0, podemos aprovechar este método:

Las raíces de la ecuación 3x² + 6x = 0 son x₁ = 0 y x₂ = -2.

3. Ecuación de segundo grado sin término lineal

Es un tipo de ecuación de segundo grado en el que el coeficiente b es igual a cero, es decir, no hay término lineal o término de primer grado. Por lo tanto, la ecuación cuadrática toma la forma de ax² + c = 0.

Para hallar las raíces en este tipo de ecuación cuadrática, podemos despejar la variable x:

Dependiendo del resultado de la división ubicada dentro de la raíz cuadrada, obtendremos dos soluciones reales o complejas. Por ejemplo, si tenemos la ecuación 5x² - 8 = 0, entonces:

Por lo tanto, las raíces de esta ecuación de segundo grado sin término lineal son x₁ = 1,265 y x₂ = -1,265.

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltos

Ejemplo 1

Tenemos la siguiente ecuación: -2x² + 7x + 4 = 0. Si aplicamos la fórmula general, obtenemos:

Las raíces de esta ecuación de segundo grado son x₁ = -0,5 y x₂ = 4.

Ejemplo 2

Tenemos la siguiente ecuación: 3x² - 3x - 5 = 0. Si aplicamos la fórmula general, obtenemos:

En este caso, las raíces de la ecuación cuadrática son x₁ = -1,885 y x₂ = -0,885.

Ejemplo 3

Tenemos la siguiente ecuación: -2x² + 6x = 0. Aquí no hay término independiente, por lo que podemos emplear otro método para hallar las soluciones a la ecuación cuadrática:

Las soluciones de la ecuación son x₁ = 0 y x₂ = 3.

Vea también Ecuación de primer grado y Ecuaciones.

Cómo citar: Significados, Equipo (05/03/2025). "Ecuaciones de segundo grado". En: Significados.com. Disponible en: https://www.significados.com/ecuaciones-de-segundo-grado/ Consultado: